Rubrica delle curiosità – # 2 – Alea iacta est. I dadi sono perfetti?

Una breve guida sui dadi e sulla loro (presunta) perfezione geometrica.

Etimologicamente…

dado: dal latino datu(m), participio passato di dare ‘dare’ ; si ritiene ricavato per ellissi da calculum datum ‘pedina mossa’ e quindi ‘pedina, pezzo’ , in quanto dare ha assunto il significato di ‘muovere’ in questo contesto.

Il Corominas avanza una proposta diversa e fa risalire dado all’arabo dad o al persiano dada ‘gioco’ , forte dell’argomento che molti giochi, e in particolare quello degli scacchi, sono di provenienza arabo-persiana, ma non c’è traccia di questo prestito nelle fonti medievali e parte delle forme romanze presuppongo una dorma con -t- originario e non con -d-.

Da quali solidi si costruiscono i dadi da gioco?

I dadi sono dei motori aleatori, cioè strumenti per determinare in maniera casuale un esito con dei numeri (ma nulla vieta di utilizzare anche delle lettere o dei disegni).
Uno studio accurato porta alla scoperta che i dadi sono costruiti dai solidi platonici e dai solidi archimedei, nonché dai rispettivi poliedri duali.
Ricordiamo che il poliedro duale di un poliedro P è un altro poliedro che si ottiene scambiando i ruoli dei vertici con i ruoli delle facce del poliedro P.
La costruzione del dado dipende quindi da quale solido utilizziamo per costruirlo.
Se scegliamo fra i solidi regolari (detti anche solidi platonici) aventi come facce tutti poligoni regolari, possiamo utilizzare i seguenti solidi: a facce triangolari (tetraedro: 3 facce, ottaedro: 8 facce, icosaedro: 20 facce); a facce quadrate (esaedro: 6 facce); a facce pentagonali (dodecaedro: 12 facce).

I solidi archimedei, invece, sono un gruppo di 13 solidi le cui facce sono poligoni regolari non necessariamente tutti uguali e che godono di una proprietà tale per cui tra ogni coppia di vertici esiste simmetria e omogeneità.

I dadi possono essere ricavati anche dai prismi, dagli antiprismi e dalle bipiramidi (due piramidi congruenti aventi le basi sovrapposte), dalle quali eventualmente si possono tagliare le punte con piani paralleli a quello contenente la base.

C’è una regola per disporre i numeri sulle facce di un dado?

Nel caso di dadi regolari, costruendo una funzione che esprime la probabilità che una delle facce esca, si nota che ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire e perciò c’è equità. Ciò non succede nei dadi costruiti a partire da solidi archimedei, da prismi, da antiprismi e da bipiramidi, nei quali quindi la probabilità che una faccia esca non è necessariamente equa ed uguale per tutte le facce, ma dipende dall’area delle facce (facce con area maggiore avranno maggiore probabilità di uscire).

Nei tipici dadi da gioco (esaedri), quelli che tutti conosciamo fin da bambini, sulle facce sono indicati i numeri da 1 a 6 per mezzo di puntini invece che con le cifre.
Anche la disposizione dei puntini è molto familiare, sappiamo bene infatti che il 2 e il 3 hanno i puntini in diagonale ed il 6 ha due file di tre puntini.
Una cosa che invece non tutti sanno è che nei dadi regolari la somma dei numeri di due facce opposte è sempre uguale al doppio del valore medio dei numeri sulle facce
( 2* (1+2+3+4+5+6) / 6  = 7 nel caso dell’esaedro), ovvero se la faccia in alto (che per convenzione è quella del numero “uscito” con il tiro) è 1, 2 o 3, allora quella in basso è rispettivamente 6, 5 o 4 (e viceversa).

Se questa regola di costruzione dei dadi viene rispettata, ci sono due diversi modi di disporre le cifre (se non si considerano le rotazioni delle cifre 2, 3 e 6). Infatti, preso un dado regolare e disposto il 6 sulla base e l’1 in alto, ruotandolo attorno all’asse verticale è sempre possibile avere il 2 a sinistra e il cinque a destra. L’unica scelta che resta è se disporre il 3 avanti e il 4 dietro o viceversa.
Nei dadi regolari con più facce, i valori sono indicati direttamente con i numeri, ma questo non stupisce più se si pensa che essi arrivano fino a 20. Chiaramente sarebbe scomodo, anche se possibile, mettere dei puntini.
E ci sono anche dadi (non regolari) con un numero di facce maggiore!

Cosa significa che un dado è truccato?

Un dado truccato è un dado in cui ogni faccia non ha la stessa probabilità di uscire, ma alcune facce hanno una probabilità maggiore.
Un dado può venir truccato in molti modi: per esempio, il dado a 6 facce potrebbe non avere una forma cubica perfetta, ma avere altezza e larghezza diverse, rendendo più probabile che atterri su alcune facce.
Misuriamo quindi al millimetro altezza e larghezza delle facce del dado per assicurarci che siano uguali.

Un altro modo per truccare il dado, è quello di rendere alcune facce più convesse, rendendo più probabile che il dado non atterri su quella faccia. Per escludere che il dado sia truccato in questo modo, possiamo utilizzare il tatto, oppure far scorrere sopra delle gocce d’acqua per assicurarci che su tutte le facce l’acqua scorra nello stesso modo.

Ma la maggior parte dei dadi vengono truccati sbilanciando il loro peso.
Come capire se un dado da gioco è truccato in una semplice mossa? Esiste un metodo geniale.

Come capire se un dado è truccato?

Per capire se un dado è sbilanciato basta utilizzare il metodo dell’acqua e sale: riempiamo un bicchiere di acqua e quanto più sale possibile riusciamo a far sciogliere nell’acqua è meglio utilizzare dell’acqua calda, così riusciremo a dissolvere più sale). Mettiamo il nostro dado nell’acqua salata. Se abbiamo messo abbastanza sale, il dado dovrebbe galleggiare. Se non galleggia, scaldiamo ancora l’acqua e aggiungiamo altro sale. Quando il dado galleggia sulla superficie dell’acqua, spingiamolo leggermente verso il basso. Quando il dado torna a galla, teniamo a mente quale faccia è rivolta verso l’alto, poi spingiamolo di nuovo.
Se il dado torna a galla sempre o quasi sempre con la stessa faccia rivolta verso l’alto, vuol dire che il dado è sbilanciato. 

Come costruire un dado non truccato?

Per costruire un dado in cui ogni faccia abbia rigorosamente la medesima probabilità di uscire, abbiamo a disposizione quindi i 5 solidi platonici e tra questi quello che ha il numero maggiore di facce è l’icosaedro (20 facce, 30 spigoli, 12 vertici).
Se si desidera un dado a più facce e non si è legati alla rigorosa equiprobabilità di uscita, si può considerare uno dei solidi archimedei, in cui le facce sono costituite da due o più tipi di poligoni regolari.
Tra i solidi archimedei, quello che ha il massimo numero di facce è il dodecaedro camuso con ben 92 facce, ma si presta male ad essere un dado, vista la presenza di facce pentagonali e triangolari che ovviamente hanno aree diverse e probabilità diverse di caduta.

Il numero massimo di facce possibili tra i solidi regolari e non, se si richiede che le facce siano tutte poliedri regolari con stessa forma e stessa area, quindi con uguale probabilità di uscita, è 120.
Il dado a 120 facce è basato su un poliedro noto come esacisicosaedro (solido di Catalan con 120 facce uniformi, 180 spigoli, 62 vertici). Questo poliedro è il poliedro duale dell’icosidodecaedro troncato (solido archimedeo con 62 facce, 180 spigoli, 120 vertici).
L’uniformità delle facce dell’esacisicosaedro garantisce l’equiprobabilità di uscita delle facce, poiché ogni faccia ha la stessa area e quindi la stessa probabilità di uscire.
Il dado a 120 facce è costruito unendo le base decagonali di 12 piramidi (in cui ogni faccia è formata da un triangolo rettangolo).
Dopo aver definito la forma del dado, è importante studiare come disporre i numeri da 1 a 120 sulle facce del dado.
Il dado rispetta la regola di costruzione dei dadi; infatti è stato progettato in modo tale che la somma di tutti i numeri attorno a ciascun vertice di ognuna delle 12 piramidi decagonali restituisca la stessa somma in ogni piramide.

Quali sono i problemi da considerare nel costruire un dado con un numero elevato di facce?

Quando ci si avvicina ad un elevato numero di facce i problemi diventano duplici:

• numeri microscopici (avremmo bisogno di dadi molto grandi o di lettere minuscole)
  N.B. il dado a 120 facce ha un diametro di 5 cm
  
• accordo tra i giocatori (quando i giocatori non sono d’accordo su ciò che è uscito nella faccia alta del dado, dovremmo tirare il dado su un tavolo di vetro e guardare in basso per vedere quale numero è uscito, o sottrarre il numero che vediamo in basso dal doppio del valore medio dei numeri presenti sulle facce del dado per determinare quale numero è in cima)
  
• spazio di rotolamento (probabilmente, vista la presenza di un numero elevato di facce che andrebbe ad “arrotondare” il dado, conferendogli una forma quasi sferica) si avrebbe bisogno di far rotolare il dado su una superficie concava per impedire al dado di rotolare e uscire dal tavolo

“Non gioco d’azzardo, perché conosco il calcolo delle probabilità. Sono convinto che i giochi non siano truccati, sono onesti. Ma se lo sono, non c’è gusto, è solo questione di dove finiscono i dadi, e questo non lo trovo interessante. È puro caso.”

Richard Feynman, fisico e divulgatore scientifico statunitense, Premio Nobel per la fisica nel 1965, intervistato da Charles Weiner il 4 marzo 1966

Bibliografia e sitografia utile

• https://aliveuniverse.today/rubriche/ricreazioni-matematiche/2059-dadi
• https://it.quora.com/Qual-%C3%A8-il-numero-massimo-di-facce-presenti-in-un-dado
• https://it.quora.com/Qual-%C3%A8-il-numero-massimo-di-lati-che-un-dado-pu%C3%B2-avere
• https://it.wikipedia.org/wiki/Icosidodecaedro_troncato
• https://it.wikipedia.org/wiki/Esacisicosaedro
• www.proiezionidiborsa.it/come-capire-se-un-dado-da-gioco-e-truccato-in-una-semplice-mossa/
  

Francesca Sbarbati, 4 gennaio 2021